මාන විශ්ලේෂණයෙහි තවත් ප්‍රයෝජනයක් වන්නේ සමීකරණ ව්‍යුත්පන්න(සාධනය) කිරීමේ හැකියාවයි. එනම් කිසියම් භෞතික රාශියක් රඳා පවතින කරුණූ පරීක්ෂණාත්මකව සොයාගත් විට මාන විශ්ලේෂණය යොදාගෙන ඒ සඳහා සමීකරණයක් ගොඩනැඟිය හැක. දැන් එසේ සමීකරණයක් ගොඩනඟාගන්නා අකාරය විමසා බලමු.
මේ සඳහා අපි සරල අවලම්බය(simple gravity pendulum) පිළිබඳ පරීක්ෂණය යොදාගමු. එනම් පහත රූපයේ ආකාරයට කුඩා ස්කන්ධයක්(කුඩා යකඩ බෝලයක්) තන්තුවකින් ගැට ගසා ආධාරකයක් මත එල්ලනු ලැබේ.
[caption id="attachment_237" align="aligncenter" width="260" caption="සරල අවලම්බයක දෝලනය"]
[/caption]
රූපයේ ඊ හිස් ඔස්සේ සරල අවලම්බයේ චලිතය(දෝලනය) පෙන්නුම් කරයි. එනම් නිශ්චල අවස්ථාවේදී(පොළවට ලම්බක අවස්ථාව) යකඩ බෝලයට කුඩා බලයක් යෙදූ විට දෙපසට ගමන් කරමින් පැද්දෙයි. මෙය දෝලනය වීම ලෙස හඳුන්වන අතර මධ්‍ය පිහිටීමේ සිට දෙපසට දෝලනය(oscillation) වී නැවත මධ්‍ය පිහිටීමට පැමිණීම එක් දෝලනයක් ලෙස හඳුන්වනු ලබනවා.
දැන් මේ සරල අවලම්බය මත ක්‍රියා කරන භෞතික රාශී මොනවාදැයි බලමු. දෝලන කාලය, තන්තුවේ දිග සහ යකඩ බෝලය පහළට ඇඳ තබා ගන්නා ගුරුත්වජ ත්වරණය(acceleration of gravity) යන රාශින් ත්‍රිත්වය මත සරල අවලම්බයේ දෝලනය රඳා පවතින බව අපට නිරීක්ෂණය කළ හැක. ඒ අනුව මෙහි දෝලන කාලය T ලෙසද තන්තුවේ දිග l ලෙසද ගුරුත්වජ ත්වරණය g ලෙසද ගනිමු.
T, l මත රඳා පවතින බැවින් එම රාශීන් දෙක සමානුපාතික වේ. එනම්,
T ∝ lx වේ.
T, g මතද රඳා පවතින බැවින් එම රාශින් දෙකද සමානුපාතික වේ. එනම්,
T ∝ gy වේ.
ඒ අනුව T, l සහ g මත රඳා පවතින නිසා මෙසේ ලිවිය හැක.
T ∝ lx gy
T = k lxgy
මෙහි k යනු මාන රහිත නියතයකි. සමානුපාතිකයක් සමීකරණයක් බවට හැරවීමේදී නියතයක් යෙදිය යුතු වේ. දැන් මාන විශ්ලේෂණය යොදාගෙන x සහ y සොයාගත යුතුයි.
කලින් උගත් පරිදි T හි මාන T ලෙසත් lහි මාන L ලෙසත් gහි මාන LT -2 ලෙසත් ගනිමු. ඉන්පසු පෙර තනාගත් සමීකරණයට ඒවා ආදේශ කරගත යුතුයි. සමීකරණයේ දෙපසටම සාධාරණ ලෙස මාන යෙදිය යුතුයි. ඉන්පසු සමීකරණය සුළු කරගෙන x,y ලබාගත යුතුයි.
L0 T1 = Lx (LT -2)y
L0 T1 = Lx Ly T -2y
L0 T1 = Lx+y T -2y
-2y=1
y= -1/2
x+y=0
x+(-1/2)=0
x= 1/2
x=1/2 සහ y=-1/2 ආද්ශයෙන්
T = k lxgy
T = k l1/2g-1/2
T = k l1/2 / g1/2
දැන් අපි සමීකරණය ගොඩ නඟා අවසන්. තවද මෙහි නියතය 2π බව සොයාගෙන ඇත. එමනිසා පහත පරිදි සමීකරණය ලිවිය හැක.
අපි ගොඩනගන ලද මේ සමීකරණයට පාදක පරීක්ෂණය සුප්‍රකට ගැලීලියෝ ගැලීලියෝ විද්‍යාඥයා විසින් කරන ලද්දක්. ඔහු කළ සරල අවලම්බ පරීක්ෂණය සඳහා සමීකරණයක් තමයි අපි විසින් දැන් මාන විශ්ලේෂණය යොදාගෙන සාධනය කලේ.
ඉතින් මෙසේ පරීක්ෂණාත්මකව ඔප්පු කිරීම් සඳහා මාන විශ්ලේෂණය යොදා ගන්නවා. කිසියම් පරීක්ෂණයකදී භාවිතා වන භෞතික රාශීන් දන්නේම් ඒ ඔස්සේ අපිට සමීකරණ ව්‍යුත්පන්න කරගත හැක෴
By Shiroshan Randika
මේ සඳහා අපි සරල අවලම්බය(simple gravity pendulum) පිළිබඳ පරීක්ෂණය යොදාගමු. එනම් පහත රූපයේ ආකාරයට කුඩා ස්කන්ධයක්(කුඩා යකඩ බෝලයක්) තන්තුවකින් ගැට ගසා ආධාරකයක් මත එල්ලනු ලැබේ.
[caption id="attachment_237" align="aligncenter" width="260" caption="සරල අවලම්බයක දෝලනය"]
[/caption]රූපයේ ඊ හිස් ඔස්සේ සරල අවලම්බයේ චලිතය(දෝලනය) පෙන්නුම් කරයි. එනම් නිශ්චල අවස්ථාවේදී(පොළවට ලම්බක අවස්ථාව) යකඩ බෝලයට කුඩා බලයක් යෙදූ විට දෙපසට ගමන් කරමින් පැද්දෙයි. මෙය දෝලනය වීම ලෙස හඳුන්වන අතර මධ්‍ය පිහිටීමේ සිට දෙපසට දෝලනය(oscillation) වී නැවත මධ්‍ය පිහිටීමට පැමිණීම එක් දෝලනයක් ලෙස හඳුන්වනු ලබනවා.
දැන් මේ සරල අවලම්බය මත ක්‍රියා කරන භෞතික රාශී මොනවාදැයි බලමු. දෝලන කාලය, තන්තුවේ දිග සහ යකඩ බෝලය පහළට ඇඳ තබා ගන්නා ගුරුත්වජ ත්වරණය(acceleration of gravity) යන රාශින් ත්‍රිත්වය මත සරල අවලම්බයේ දෝලනය රඳා පවතින බව අපට නිරීක්ෂණය කළ හැක. ඒ අනුව මෙහි දෝලන කාලය T ලෙසද තන්තුවේ දිග l ලෙසද ගුරුත්වජ ත්වරණය g ලෙසද ගනිමු.
T, l මත රඳා පවතින බැවින් එම රාශීන් දෙක සමානුපාතික වේ. එනම්,
T ∝ lx වේ.
T, g මතද රඳා පවතින බැවින් එම රාශින් දෙකද සමානුපාතික වේ. එනම්,
T ∝ gy වේ.
ඒ අනුව T, l සහ g මත රඳා පවතින නිසා මෙසේ ලිවිය හැක.
T ∝ lx gy
T = k lxgy
මෙහි k යනු මාන රහිත නියතයකි. සමානුපාතිකයක් සමීකරණයක් බවට හැරවීමේදී නියතයක් යෙදිය යුතු වේ. දැන් මාන විශ්ලේෂණය යොදාගෙන x සහ y සොයාගත යුතුයි.
කලින් උගත් පරිදි T හි මාන T ලෙසත් lහි මාන L ලෙසත් gහි මාන LT -2 ලෙසත් ගනිමු. ඉන්පසු පෙර තනාගත් සමීකරණයට ඒවා ආදේශ කරගත යුතුයි. සමීකරණයේ දෙපසටම සාධාරණ ලෙස මාන යෙදිය යුතුයි. ඉන්පසු සමීකරණය සුළු කරගෙන x,y ලබාගත යුතුයි.
L0 T1 = Lx (LT -2)y
L0 T1 = Lx Ly T -2y
L0 T1 = Lx+y T -2y
-2y=1
y= -1/2
x+y=0
x+(-1/2)=0
x= 1/2
x=1/2 සහ y=-1/2 ආද්ශයෙන්
T = k lxgy
T = k l1/2g-1/2
T = k l1/2 / g1/2
දැන් අපි සමීකරණය ගොඩ නඟා අවසන්. තවද මෙහි නියතය 2π බව සොයාගෙන ඇත. එමනිසා පහත පරිදි සමීකරණය ලිවිය හැක.
අපි ගොඩනගන ලද මේ සමීකරණයට පාදක පරීක්ෂණය සුප්‍රකට ගැලීලියෝ ගැලීලියෝ විද්‍යාඥයා විසින් කරන ලද්දක්. ඔහු කළ සරල අවලම්බ පරීක්ෂණය සඳහා සමීකරණයක් තමයි අපි විසින් දැන් මාන විශ්ලේෂණය යොදාගෙන සාධනය කලේ.
ඉතින් මෙසේ පරීක්ෂණාත්මකව ඔප්පු කිරීම් සඳහා මාන විශ්ලේෂණය යොදා ගන්නවා. කිසියම් පරීක්ෂණයකදී භාවිතා වන භෞතික රාශීන් දන්නේම් ඒ ඔස්සේ අපිට සමීකරණ ව්‍යුත්පන්න කරගත හැක෴
By Shiroshan Randika
Comments
Post a Comment
Every Action has a Reaction. එසේ නම් ඔබේ ප්‍රතික්‍රියාවත් සටහන් කර යන්න.